Εύρεση του ορίου ενός ολοκληρωμένου: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \ dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Υποθέστε ότι το $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ είναι συνεχές. Προσδιορίστε εάν υπάρχει το ακόλουθο όριο

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx.

Επειδή τα $ f (x) $ και $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ είναι συνεχή, το προϊόν τους είναι ενσωματωμένο στο Riemann. Ωστόσο δεν υπάρχει $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $, επομένως δεν υπάρχει ομοιόμορφη σύγκλιση και δεν μπορούμε να περάσουμε το όριο μέσα στο ολοκλήρωμα. Επίσης, δεν ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος Dini. Δεν ξέρω πώς να κάνω ένα έγκυρο επιχείρημα για αυτό το πρόβλημα, αλλά νομίζω ότι με αυτό που είπα ότι το όριο δεν υπάρχει. Εκτιμώ οποιαδήποτε βοήθεια.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Σημειώστε ότι $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Ευχαριστώ, νομίζω, μπορώ να το ολοκληρώσω τώρα
Teepeemm 07/31/2017
Αυτό φαίνεται να είναι πιο προχωρημένο από ό, τι το ζητούμενο πρόβλημα.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Ένας ελαφρώς διαφορετικός τρόπος επίλυσης αυτού είναι να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη παρατήρηση.

Proposition. Αν το $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ είναι συνεχές, το $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ είναι συνεχές και $ L $ -περιοδικό,

(\ n) \ n \ n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx \ δεξιά) \ αριστερά (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ δεξιά). $$

  1. Υποθέτοντας αυτή τη δήλωση, η απάντηση ακολουθεί αμέσως αφού $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ είναι $ 2 \ pi $ -περιοδική και

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Η διαίσθηση είναι πολύ ξεκάθαρη: Αν το $ n $ είναι πολύ μεγάλο, τότε στο υποτεντερικό $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ υποσύνολο [a, b] $ έχουμε

    (c) \ int {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \ dx. $$

    Έτσι αγνοώντας τις λεπτομέρειες, θα είχαμε

    \ n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\ frac {k} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right} \ αριστερά

    και λαμβάνοντας το όριο ως $ n \ to \ infty $, η δεξιά πλευρά συγκλίνει στην επιθυμητή τιμή. Η συμπλήρωση των στοιχείων είναι αρκετά ρουτίνα.

  3. Η υπόθεση της συνέχειας είναι απλώς ένα τεχνικό περιβάλλον για απλές αποδείξεις και μπορείτε να χαλαρώσετε σε ορισμένους βαθμούς δίνοντας περισσότερες προσπάθειες.


Michael Hartley 07/31/2017.

Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n) δεν υπάρχει. ) δεν το κάνει. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$, αλλά $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) 0, $$ δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα είναι μηδέν για όλα τα $ n $.

Φοβάμαι ότι η χρησιμότητά μου τελειώνει σε αυτό το σημείο, αν και νομίζω ότι υπάρχει το όριο: θα πρέπει, αν μη τι άλλο, να μπορέσετε να βρείτε κάποιο επιχείρημα epsilon-delta που εκφράζει το ολοκλήρωμα ως το άθροισμα μιας δέσμης ολοκληρωμάτων σε διαστήματα μήκους $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Αυτός μπορεί να είναι ένας πολύ κακός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags