Λειτουργίες που είναι πάντα λιγότερο από τα παράγωγά τους

Mike Brown 09/11/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Αναρωτιόμουν αν υπάρχουν λειτουργίες για τις οποίες το $$ f '(x)> f (x) $$ για όλα τα $ x $. Μόνο παραδείγματα που θα μπορούσα να σκεφτώ ήταν $ e ^ x - c $ και απλά $ - c $ στο οποίο $ c> 0 $. Επίσης, υπάρχει κάποια σημασία σε μια λειτουργία που είναι πάντα μικρότερη από το παράγωγο της;


Επεξεργασία: Ευχαριστώ πολύ για όλες τις απαντήσεις. Φαίνεται ότι όλες σχεδόν οι λειτουργίες που ισχύουν είναι εκθετικές από τη φύση ... Υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα όπως - 1 / x;

Και πάλι υπάρχουν οποιεσδήποτε εφαρμογές / φυσικές εκδηλώσεις αυτών των λειτουργιών; [για παράδειγμα ένα αντικείμενο με ταχύτητα που είναι πάντα μεγαλύτερη από τη θέση / επιτάχυνση του είναι πάντα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Από την κορυφή του κεφαλιού μου, οποιαδήποτε οριοθετημένη, μονοτονικά αυξανόμενη λειτουργία στο κάτω μισό επίπεδο.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Η απάντηση του Ιξίου δίνει την πλήρη και γενικότερη λύση (αν και ορισμένες συγκεκριμένες οικογένειες λύσεων μπορεί να είναι εγγράψιμες σε ωραιότερες μορφές) και πρέπει να γίνουν αποδεκτές.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Αλλά παρακαλώ διορθώστε τον τίτλο, αλλάζοντας "το" του σε "τους". Ο τρόπος με τον οποίο γράφεται ο τίτλος, για μια στιγμή φαινόταν σαν να εξετάζετε παράγωγα όλων των παραγγελιών. Και τώρα είμαι περίεργος για αυτή την πλευρά ερώτηση, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Αν είναι $ y (x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, μπορούμε να ορίσουμε $ f (x) = y ' $ x $. Ας υποθέσουμε ότι το $ y '(x) $ είναι συνεχής συνάρτηση έτσι ώστε το $ f (x) $ να είναι συνεχές επίσης. Τώρα με αυτό το στοιχείο μπορούμε να χτίσουμε τη διαφορική εξίσωση $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ και οι λύσεις του δίδονται από: $$ y (x) = e ^ {x} (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right} $$

Και πάλι υπάρχουν οποιεσδήποτε εφαρμογές / φυσικές εκδηλώσεις αυτών των λειτουργιών; [για παράδειγμα ένα αντικείμενο με ταχύτητα που είναι πάντα μεγαλύτερη από τη θέση / επιτάχυνση του είναι πάντα μεγαλύτερη από την ταχύτητα του]

Δεν ξέρω αν υπάρχει εφαρμογή αυτής της ενδιαφέρουσας ιδιοκτησίας, αλλά είμαι βέβαιος ότι δεν μπορείτε να συγκρίνετε την ταχύτητα με τη θέση επειδή δεν είναι ομοιογενείς ποσότητες.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Υποθέτοντας $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f (x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x)

Έτσι, μπορείτε να μετατρέψετε οποιαδήποτε λειτουργία $ g $ όπου $ g '(x)> 1 $ σε αυτόν τον τύπο συνάρτησης λαμβάνοντας το εκθετικό της:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ υπονοεί \ frac {d} {dx} \ ln ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Υποθέτετε $ f (x)> 0 $ στην αρχή
2 MPW 07/28/2017
@ HagenvonEitzen: Έπειτα θα μπορούσε απλώς να χρησιμοποιήσει το $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ ως αφετηρία του για κάθε δεδομένο $ f $. Με αυτόν τον τρόπο κάποιος πάντα έχει $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Η απάντηση του Ixion δίνει την πλήρη γενίκευση επιτρέποντας στο $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ να είναι οποιαδήποτε λειτουργία που είναι παντού θετική.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Όχι, υποθέτει συνέχεια του $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Είμαι πολύ σίγουρος ότι η κατάσταση δεν είναι πραγματικά απαραίτητη.

Peter 07/28/2017.

Ένα απλό παράδειγμα είναι $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Ένα πιο ενδιαφέρον πρόβλημα είναι να βρούμε μια συνάρτηση $ f mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, η εικόνα της οποίας είναι $ \ mathbb {R} $ και ικανοποιεί $ f '(x)> f (x) για όλα τα $ x \ in \ mathbb {R} $. Μία από αυτές τις λειτουργίες είναι

$$ \ sinh (x), $$

επειδή

$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ για όλα $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Πάρτε $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Στη συνέχεια, για $ \ alpha> 1 $ έχουμε $ f '(x)> f (x) $ και για $ \ alpha <1 $ έχουμε $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Τι θα λέγατε αν το βλέπετε ως διαφορική εξίσωση. Λένε

$ y '= y + 1 $

που έχει λύση $ y = Ce ^ x -1 $

Ή $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

που έχει λύση $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Ή $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

που έχει λύση $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Η απάντηση του Ixion γενικεύει αυτό στο $ y '(x) = y (x) + f (x) $ για κάθε $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - πρέπει να διαγράψω την απάντησή μου;
Robin Saunders 07/30/2017
Δεν γνωρίζω πολλά για την εθιμοτυπία του Stack Exchange, αλλά η εικασία μου θα ήταν ότι από τη στιγμή που δημοσιεύσατε την απάντησή σας πρώτα και περιέχει συγκεκριμένα παραδείγματα που δεν περιλαμβάνονται στην άλλη απάντηση, θα ήταν καλό να την αφήσετε.

Eric Towers 07/30/2017.

Ένα very απλό παράδειγμα είναι $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Σχετικό με την επεξεργασία σας: αυτό δεν είναι εκθετικό καθόλου.

Άλλα παραδείγματα που δεν είναι άμεσα εκθετικά:

  • Το $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ είναι παντού αρνητικό και παντού αυξάνεται αυστηρά μονοτονικά, έτσι είναι παντού λιγότερο από το παράγωγο του.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) Το $ είναι επίσης παντού αρνητικό και παντού αυξάνεται αυστηρά μονοτονικά. (Αυτές είναι πολύ παρόμοιες, καθώς μετατοπίζονται αντίγραφα των CDFs των (τυπικών / κανονικοποιημένων) κατανομών Cauchy και Gaussian.)
  • $ \ frac {1} {2} \ αριστερά (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ είναι ο κατώτερος κλάδος μιας υπερβολής που έχει την τιμή $ x $ και την γραμμή $ y = x $ as ασυμπτωτικοί. Είναι παντού αρνητικό και παντού αυξάνεται αυστηρά μονοτονικά.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Βλέπε, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ στην \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Γενικότερα, οποιαδήποτε αρνητική λειτουργία με θετικό παράγωγο ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Ένα άλλο απλό παράδειγμα είναι το $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Η ανισότητα $$ f '(x)> f (x) $$ είναι ισοδύναμη με $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0.

Επομένως, η γενική λύση είναι να πάρουμε οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση $ g (x) $ με $ g '(x)> 0 $ και να θέσουμε $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Σημειώστε ότι τίποτα δεν υποτίθεται για το $ f $ εκτός από την διαφοροποίηση, η οποία είναι απαραίτητη για να θέσουμε την ερώτηση στην πρώτη θέση.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Για κάθε διαφορική λειτουργία $ f $ για την οποία και τα $ f (x) $ και $ f '(x) $ περιορίζονται σε πεπερασμένα εύρη, το $ f' (x) - f (x) $ περιορίζεται επίσης σε ένα πεπερασμένο εύρος, οπότε υπάρχει ένα $ c $ για το οποίο $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Επομένως, μπορεί να σχηματιστεί μία συνάρτηση $ g (x) = f (x) - c $ για την οποία $ g '(x) - g (x) - c> )> g (x) \ \ forall \ x $.

Για παράδειγμα, αυτό ισχύει για πολλές διαφορικές περιοδικές λειτουργίες.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Η τελευταία δήλωση είναι λανθασμένη, αφού κάθε διαφοροποιήσιμη περιοδική συνάρτηση δεν έχει παραγώγους.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Έχετε δίκιο. Σκεφτόμουν τις περιοδικές λειτουργίες που ήταν διαφοροποιήσιμες σε κάθε σημείο του $ \ mathbb {R} $, αλλά συνειδητοποιώ ότι μια συνάρτηση πρέπει να είναι διαφοροποιήσιμη σε όλα τα σημεία της επικράτειάς της ώστε να θεωρείται διαφοροποιήσιμη. Έχω ενημερώσει την απάντησή μου.
Adayah 07/30/2017
Θέλω να πω, μια συνάρτηση $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ μπορεί να είναι περιοδική και διαφοροποιήσιμη σε κάθε σημείο $ a \ in \ mathbb {R} $ και εξακολουθεί να έχει απεριόριστο παράγωγο.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Έχετε κάποιο παράδειγμα μιας τέτοιας λειτουργίας;
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Θέλω να πω, αν μια συνάρτηση $ f $ είναι διαφοροποιήσιμη παντού, το παράγωγο $ f '$ πρέπει να υπάρχει παντού, και $ f' $ πρέπει να είναι συνεχής (επειδή αν περιέχει οποιαδήποτε ασυνέχεια, το $ f '$ δεν μπορεί να υπάρξει σε εκείνο το σημείο ). Αυτό καθιστά αδύνατο το $ f '$ να είναι απεριόριστο, σωστά;

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike μια απάντηση στην πρόσθετη ερώτησή σας "Υπάρχουν φυσικά παραδείγματα αυτού;" είναι ενεργοποιημένη από το dromastyx.

Το παράδειγμά του δείχνει υπερβολικές λειτουργίες που περιγράφουν με ακρίβεια το φυσικό φαινόμενο των «solitons».

Τα Solitons είναι μοναχικά κύματα, όπως οι φωτοβολίδες, τα Tsunamis κλπ. Ένα παράδειγμα εύρεσης τέτοιων κυμάτων κρυμμένων σε γνωστές εξισώσεις είναι:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags